Государственный университет




НазваниеГосударственный университет
страница1/5
Дата публикации17.10.2016
Размер9,76 Kb.
ТипУчебное пособие
dopoln.ru > Информатика > Учебное пособие
  1   2   3   4   5


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

х.п. Культербаев, а.я. джанкулаев

ВВЕДЕНИЕ В MATLAB



НАЛЬЧИК 2006

УДК 681.3.068

ББК 32.973.23

К-90

Рецензент:

доктор физико-математических наук,

профессор, технический директор

Нальчикского филиала ОАО «ВымпелКом»

Х.М. Сенов
Культербаев Х.П., Джанкулаев А.Я. Введение в MATLAB. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2006. – 57 с.

Учебное пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений. Изложены вводные сведения по популярной системе компьютерной математики MATLAB, приведены многочисленные примеры её применения.

Издание может быть полезно для преподавателей, аспирантов и специалистов различных областей науки и техники, проявляющих интерес к приложениям системы MATLAB.

Рекомендовано РИС университета

УДК 681.3.068

ББК 32.973.23
© Кабардино-Балкарский

государственный университет, 2006

1. Основные сведения о MATLAB′е

В настоящее время возникло и успешно развивается новое научное направление на стыке математики и информатики – компьютерная математика. На смену старым языкам программирования пришли специализированные системы компьютерной математики (СКМ). В том числе: MATLAB, Maple, MathCad, Mathematica и т.д.

MATLAB – это высокопроизводительный компьютерный язык для инженерных расчётов, получивший широкое распространение среди специалистов и учащихся вузов. MATLAB уже имеет обширную библиографию, но, к сожалению, имеющаяся литература труднодоступна для студентов из-за её дороговизны. Издание данного учебного пособия, в первую очередь, вызвано желанием авторов помочь обучающимся освоить одну из мощных современных вычислительных систем, каковой является MATLAB, без больших материальных затруднений.

Как и следует из названия книги, в ней приводятся только начальные сведения о MATLAB′е. Нам представляется, что настоящая книга поможет освоить некоторый начальный уровень знаний. Далее заинтересованный читатель может легко пополнить их в ходе самостоятельных занятий (увы, иногда методом «проб и ошибок») или по «толстым» книгам и руководствам, изданным в большом количестве.

MATLAB уже имеет множество версий, сменивших друг друга в процессе усовершенствований, и называется уже MATLAB 6.5; MATLAB 7 и т.д. Не имеет большого значения то, что авторы при написании данной книги использовали версию системы MATLAB 6.5, хотя уже появился MATLAB 7. Программы, созданные в версии 6.5, успешно работают и в версии 7.

В чём основное достоинство MATLAB′а по сравнению с обычными алгоритмическими языками? Раньше, чтобы решить какую-либо сложную задачу, требующую серьёзного математического аппарата, автор должен был владеть абсолютно всеми подробностями алгоритма решения и уметь превратить алгоритм в программу на одном из алгоритмических языков программирования.

Теперь не так! При применении MATLAB′а вам не обязательно знать подробности и нюансы вычислительного алгоритма, не обязательно уметь писать и отлаживать сложные программы. Основные математические методы уже включены в саму систему. Нужно только суметь обратиться к ним. Пусть, например, имеется алгебраическое уравнение

.

Для его решения с помощью традиционных алгоритмических языков нужно обладать высоким математическим искусством по высшей алгебре, численным методам и программированию. Между тем, при использовании MATLAB′а всё ваше умение должно состоять в том, чтобы набрать с клавиатуры единственную команду

>> roots([1 6 7 -206 2 410 -620 400])

нажать на клавишу Enter, и вы получите ответ

ans =

-5.0099 + 4.9095i

-5.0099 – 4.9095i

4.0000

-2.0000

1.0000

0.5099 + 0.8696i

0.5099 – 0.8696i

Как видите, решение такой сложной задачи не потребовало ни высокой математической, ни высокой программистской квалификации. Между тем, получены как вещественные, так и комплексные корни уравнения.

Важнейшее отличие данной системы от других состоит в том, что все переменные воспринимаются как матрицы (в частном случае, векторы); причём нет разницы, являются ли элементы матрицы действительными или комплексными числами. Данные обстоятельства имеют существенное значение при программировании задач на MATLAB′е. Поэтому напомним элементарные сведения из алгебры матриц и векторов.
2. Элементы теории векторов и матриц

2.1. Векторы

Необходимость в векторах возникла сначала в механике, где её потребность наиболее очевидна. Здесь часто требуется описать силу как величину, характеризующуюся точкой приложения, модулем и направлением (рис. 1). Длина отрезка (стрелки) представляет собой модуль, положительное число, остриё стрелки указывает направление.

Если точка приложения силы совпадает с началом координат, необходимо задать два числа, чтобы установить положение вектора: модуль | a | и направление через угол . Можно поступить иначе: задать проекции этого вектора на координатные оси (или координаты конца вектора). При этом вектор может быть вектор-строкой

a = (3, 2)

или вектор-столбцом

а = .

Эти векторы, лежащие в плоскости, в первом случае имеют вид

a = (a1, a2),

где a1, a2 – компоненты (элементы) вектора.

В физическом трёхмерном пространстве вектор имеет три компоненты, т. е. является трёхмерным вектором

а = (а1, а2, а3).

В экономике, физике, геометрии и других науках часто приходится вводить объекты, для задания которых недостаточно трёх действительных чисел. Пусть например, город производит ежемесячно станки, автомобили, телевизоры, цемент, кондитерские изделия, муку и т. д. в определённых количествах: а1, а2, а3, …, аn. Тогда эти числа образуют n-мерный вектор, который может быть записан, например, в следующем виде

а = (а1, а2, а3, …, аn) = (3, 20, 120, …, 50).

В подобных случаях вектор представляет собой упорядоченную совокупность n чисел. Приведём и другой пример. Провели испытание на определение предела прочности чугуна. При этом пять образцов показали результаты, которые образуют вектор

σпч = (120, 90, 103, 112, 95) МПа.

Над векторами можно проводить различные операции. Вот некоторые из них:

Сложение.

.

Вычитание.

.

Умножение вектора на скаляр (число).

.

Скалярное произведение двух векторов.

; х = (1; 2; 3), y = (-1; 0; 2), .

Есть нуль-вектор, обладающий свойствами

, х + 0 = х, х 0 = х, х · 0 = 0, 0 · х = 0.

2.2. Матрицы

Матрица представляет собой прямоугольную таблицу чисел, расположенных в m строках и n столбцах, и называется m×n-матрицей

.

Здесь аij являются элементами матрицы, i – номер строки, j – номер столбца.

Матрица не представляется одной числовой величиной. Это – совокупность чисел, расположенных определённым образом. Векторы c размерами 1×n, m×1 – частные случаи матрицы. Если m = n, образуется
n-мерная квадратная матрица или квадратная матрица порядка n. Например, при n = 2 матрица имеет вид

.

У трёх человек измерили рост и вес. Образовалась матрица 2×3: в первой строке – значение роста в см, во второй строке – вес в кг.

.

Над матрицами можно проводить различные операции. Рассмотрим некоторые из них.

Транспонирование.

Обозначается ( )' или ( )T, i-я строка исходной матрицы заменяется i-м столбцом.

, ;

, .

AT, B' – называются транспонированными матрицами.

Векторы, как матрицы, тоже могут быть транспонированы

а = (1, 2), а′ =.

^ Умножение на скаляр.

,



Сложение.

Для сложения двух матриц они должны иметь одинаковые размеры m и n. Соответствующие элементы складываются.





Вычитание.

Соответствующие элементы матриц вычитаются.



^ Матричное умножение (умножение матрицы на матрицу).

С = А·В.

Число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В. Если А – m×n-матрица, то В – n×k-матрица. i-я строка матрицы А скалярно умножается на j-й столбец матрицы В и результат записывается в С как сij.



Если поменять А и В местами, то

!

Отсюда следует, что операция умножения не обладает свойством коммутативности: т. е. при перестановке сомножителей результат изменяется, или, вообще, перемножение становится невозможным.

^ Поэлементное перемножение.

В теории матриц такая операция отсутствует. В MATLAB′е она выполняется так:

.

В этом случае матрицы А и В должны иметь одинаковые размеры. Пример

.

Существует единичная матрица, обладающая следующими свойствами:

, А·Е = А, ЕА = А, Е·Е = Е.

Она подобна единице в классе действительных чисел.

Имеется нуль-матрица со свойствами

, А + 0 = А, А0 = А, А – А = 0, А·0 = 0, 0·А = 0.

Квадратная матрица, у которой только элементы главной диагонали отличны от нуля, называется диагональной матрицей

.

Квадратная матрица обладает числовой характеристикой, которая называется определителем матрицы. Пусть А – произвольная квадратная матрица порядка n

.

Её определитель (детерминант) обозначается det А, , Δ.



В частном случае 2×2-матрицы определитель находится просто

, .

Для 3×3-матрицы



определитель вычисляется чаще всего по известному правилу треугольников



Имеются хорошо разработанные правила подсчёта и для определителей матриц порядка выше трёх. Но, к сожалению, такие вычисления вручную являются громоздкими и трудоёмкими.

Если определитель матрицы ^ A не равен нулю, то можно найти по определённым правилам обратную матрицу A-1, обладающую свойствами

.

С помощью обратной матрицы легко решается система линейных алгебраических уравнений. В развёрнутой форме она имеет вид



То же в векторно-матричной форме будет

Ах = b.

Здесь

, .

Умножаем на А-1 слева обе части уравнения и после упрощений получаем решение системы

, , .
  1   2   3   4   5

Похожие:

Государственный университет iconУчебное пособие Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом
А. А. Хижняк (Оренбургский государственный аграрный университет), канд экон наук, доц. Е. Ф. Польщиков (0ренбургский государственный...
Государственный университет iconМосковский государственный университет геодезии и картографии информационное сообщение
...
Государственный университет iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный...
Учреждение образования «Могилевский государственный университет им. А. А. Кулешова»
Государственный университет iconУчреждение образования «могилёвский государственный университет им....
Учреждение образования «могилёвский государственный университет им. А. А. Кулешова»
Государственный университет iconРаботы филиала федерального государственного бюджетного образовательного...
«Кузбасский государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева» в г. Белово за 2012-2013 учебный год
Государственный университет iconВолгоградский Государственный Технический Университет

Государственный университет iconПетербургский Государственный Электротехнический университет Кафедра им

Государственный университет iconГоу дпо «Северо-Западный Государственный медицинский университет им. И. И. Мечникова»

Государственный университет iconМосковский Государственный Строительный Университет Кафедра технологии...

Государственный университет iconТаксиди павел владимирович
Красноярский государственный технический университет, автотранспортный факультет
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
dopoln.ru
Главная страница