Лекция 1 09. 2001)




НазваниеЛекция 1 09. 2001)
Дата публикации17.10.2016
Размер9,76 Kb.
ТипЛекция
dopoln.ru > Математика > Лекция




Лекция 1 (5.09.2001)

Введение



Для начала, приведем несколько примеров дифференциальных уравнений.

Пример. Уравнение теплопроводности. . Задает закон распределения температуры в зависимости от времени в однородной плоскости с координатами и .

Еще один пример. Всем хорошо известно уравнение свободно падающего тела без начальной скорости: , где – ускорение свободного падения.
Общий вид дифференциального уравнения - , где – независимая переменная, а – неизвестная функция. Если уравнение приведено к виду , то говорят, что оно разрешено относительно старшей производной.
Определение. Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящий в уравнение, называется порядком уравнения.
Задача. Рассмотрим уравнение .

  1. найти все решения

  2. сколько их?

  3. доказать, что решения образуют линейное пространство

  4. какова размерность этого пространства?


Определение. Общим решением называется семейство функций , такое

что - решение, и любое решение содержится в этом семействе.
Уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация.
Общий вид разрешенного уравнения: (1).

Пример. - решение уравнения .

Определение. Решение уравнения (1) удовлетворяет начальному условию , если .
^ Поля направлений и интегральные кривые.
Рассмотрим область (открытое связное множество) в плоскости.

Определение. Поле направлений – сопоставление каждой точке области прямой, проходящей через эту точку.

Если у нас в области задано семейство кривых, такое что через каждую точку проходит ровно одна кривая, то по нем можно построить поле направлений.
Определение. Кривая, которая в каждой своей точке касается заданного поля направлений, называется интегральной кривой данного поля направлений.
Уравнению можно поставить в соответствие поле направлений: каждой точке сопоставим прямую с угловым коэффициентом . В таком случае график решения будет интегральной кривой данного поля направлений.
С другой стороны, при выполнении двух условий: можно выбрать прямую , такую что

  1. при сдвиге вдоль этой прямой поле переходит в себя

  2. ни одна прямая из поля не параллельна ,

выбрав систему координат, в которой - ось , а любая перпендикулярная к ней прямая – ось , задача о нахождении интегральных кривых сводится к задаче об интегрировании функции (решению уравнения ).
Векторные поля на прямой.
Пусть – векторное поле (то же, что и поле направлений, только вместо прямых берутся векторы). Уравнение (2) называется автономным дифференциальным уравнением.

Определение. Точка называется особой точкой или точкой равновесия векторного поля (на прямой), если .

Замечание. Если – особая точка, то – решение.

Предложение. Поле направлений, определяемое уравнением (2), инвариантно относительно сдвигов вдоль оси . (Физически это означает, что если система замкнута, то она будет описываться системой автономных дифференциальных уравнений: законы физики со временем не меняются.)

Это уравнение можно переписать: . Если в области особых точек нет, то и получаем .
Пример. Уравнение нормального размножения (у популяции достаточно пищи и отсутствуют враги) . Его решение: . При , .

Пример. Уравнение взрыва Рассмотрим только упрощенный вариант: . Решение: . Здесь вертикальные асимптоты означают, что процесс уходит в бесконечность за конечное время – характеристика взрыва.

Пример. Рассмотрим уравнение .

  1. показать, что - решение

  2. показать, что - решение

  3. сколько существует решений, удовлетворяющих начальному условию ?

(Если есть особые точки, то единственности может не быть!)
Теорема. Пусть дано уравнение . Тогда на интервале

  1. решение существует

  2. решение единственно (любые 2 решения, удовлетворяющие начальному условию , совпадают в некоторой окрестности )

  3. решение дается формулами , при и при .


Пример. . Ясно, что все прямые являются решениями. Но также в каждой полосе между двумя соседними такими прямыми есть кривая, тоже являющаяся решением. Почему она не касается этих прямых? Ответ дает эта теорема: в случае касания решение уже не было бы единственным для каждого начального условия.
Доказательство. В нем нуждается только пункт 2).

Пусть , - решение, - тоже решение. Пусть и . Имеем , . Теперь устремляем к и получаем, что с левой стороны стоит ограниченная функция, а с правой – расходящийся интеграл. Противоречие.
Векторные поля на плоскости.
Рассмотрим такое уравнение: (3), . Иным образом оно может быть записано в виде системы . Решение такого уравнения – это .

Определение. Если - решение (3), то образ называется фазовой кривой. (В данном случае интегральной кривой будет график отображения - кривая в трехмерном пространстве.)
Пример. Модель «хищник – жертва» (Лотка-Вольтерра).

- численность зайцев, - численность волков. Закон изменения этих двух величин таков , где – коэффициент нормального размножения зайцев, - скорость съедания зайцев волками, - смертность волков и – скорость улучшения здоровья и способности к репродукции волка после съеденного зайца. У этого уравнения есть особая точка . Что будет, если начальное состояние не равно этому, равновесному? Имеем четыре возможности: затухающие колебания (рис. 1), раскачивающиеся колебания (рис. 2), колебания с постоянной амплитудой (периодические, рис. 3) и «смешанный тип» (рис. 4). Оказывается, фазовые диаграммы – это всё-таки окружности.



Пример. Уравнение малых колебаний . Последнее неравенство означает, что сила стремится вернуть систему в исходное состояние. Это уравнение можно переписать как , где - координата, а - скорость.

Задача. Рассмотрим систему .

  1. доказать, что фазовые кривые – окружности

  2. проверить, что явное решение может быть задано .

Похожие:

Лекция 1 09. 2001) iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...
Лекция 1 09. 2001) iconЛекция №1 от 04. 09. 2001
Драгоценные металлы и камни – это финансовые активы. Банк кредитует недропользователей, кредитование происходит в металле
Лекция 1 09. 2001) iconЛекция Введение 1 Лекция Тема «Основные элементы компьютерных технологий»
Лекция Тема «Особенности внедрения компьютерных технологий в зависимости от комплектации учебного заведения техническим и программным...
Лекция 1 09. 2001) icon«согласовано» «утверждаю» Смета на сумму: руб. Смета на сумму
Составлена в базисных ценах на 01. 2001 г по нб: "гэсн 2001 "тснб-2001 Костромской области (эталон) с доп и изм. 2""
Лекция 1 09. 2001) iconЛекция, ее роль и место в вузе. Вузовская лекция главное звено дидактического...
Совершенствование знаний, формирование умений и навыков: семинар, спецсеминар, практикум, лабораторная работа, самостоятельная работа,...
Лекция 1 09. 2001) iconЛекция Лекция
Круглый стол: Как сегодня живёт импульс, данный Рудольфом Штайнером в 1912-1913 годах?
Лекция 1 09. 2001) iconЛекция №1
Лекция № Общие принципы эффективной организации учебного процесса. Физиологиче­ская цена учебных нагрузок
Лекция 1 09. 2001) iconЛекция №1
Лекция № Общие принципы эффективной организации учебного процесса. Физиологиче­ская цена учебных нагрузок
Лекция 1 09. 2001) iconКодекс Российской Федерации об административных правонарушениях от...

Лекция 1 09. 2001) iconЛекция на семинаре «Современные теории гештальттерапии», проходившем...
Стыд в качестве регулятора возбуждения. Он проводил линию между слабой и сильной интенсивностью, от интереса до возбуждения и стыд,...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
dopoln.ru
Главная страница