Решением системы уравнений. Решить систему




НазваниеРешением системы уравнений. Решить систему
Дата публикации17.10.2016
Размер9.76 Kb.
ТипРешение
dopoln.ru > Математика > Решение
Системы линейных уравнений.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, например:

 

Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений.

Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

При решении системы линейных уравнений возможны следующие три случая:

система не имеет решений;

система имеет ровно одно решение;

система имеет бесконечно много решений.
I^ . Решение системы линейных уравнений методом подстановк.

Данный метод также можно назвать «метод подстановки» или методом исключения неизвестных.

Пример 1

Решить систему линейных уравнений:


Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа -5 и -7) расположены в левой части уравнения. Запишем систему в обычном виде.



Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.

Решаем.

Из первого уравнения системы выражаем: . Это и есть подстановка.

Полученное выражение   подставляем во второе уравнение системы вместо переменной

Решим данное уравнение относительно одной переменной.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :


4) Далее возвращаемся к подстановки  , чтобы вычислить значение .Значение  нам уже известно, осталось найти:

5) Пара – единственное решение заданной системы.

Ответ: (2,4; 2,2).

После того, как решена любая система уравнений любым способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике. Делается это легко и быстро.

1) Подставляем найденный ответ первое уравнение :


 – получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ  во второе уравнение:


 – получено верное равенство.

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было  выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Однако необходимо оценивать подстановку, так чтобы в ней как можно меньше было дробных выражений. Самый невыгодные из четырех способов – выразить  из второго или из первого уравнения:

или
Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Это экономит время, а также снижает вероятность допустить ошибку.
Пример 2

Решить систему линейных уравнений


^ Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).
II. Решение системы методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений можно использовать не метод подстановки, , а метод алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы. Этот метод экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений:


Возьмём ту же систему, что и первом примере.
1) Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной у одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:





2) Решим данное уравнение относительно одной переменной.

Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.



3) Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе):



В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:




Ответ: (2,4; 2,2).
Пример 4

Решить систему линейных уравнений:



В данном примере можно использовать метод подстановки, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. Действия с дробями мало кто любит, а значит это потеря времени , и велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:




Как видим числа в парах (14 и 7), (-9 и –2) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 14 и -14 либо 18 и –18.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной .

14х – 9у = 24;

7х – 2у = 17.
Подбираем такое число, которое делилось бы и на 14 и на 7, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты.

Далее:
Первое уравнение умножаем на 14:14 =1;
Второе уравнение умножаем на 14: 7 =2.

В результате:



Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.





Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.

Теперь подставляем найденное значение  в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:


Ответ: (3:2)
Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной .

14х – 9у = 24;

7х – 2у = 17.

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (-9 и –3) нам нужно получить 18 и –18.
Для этого первое уравнение умножаем на (-2), второе уравнение  умножаем на 9:


Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:




Теперь подставляем найденное значение х в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:


Ответ: (3:2)
Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. Чаще всего при решении систем стремятся складывать и умножать, а не вычитать и делить.
Пример 5

Решить систему линейных уравнений:



^ Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).
Пример 6.

Решить систему уравнений



Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения а из второго

Ответ: Решений нет.
Пример 7.

решить систему уравнений



Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.
^ III. Решение системы c помощью матриц.

Определителем этой системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных. Этот определитель

     

Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

     

В этом случае говорят, что система - совместная или определенная



Составим таблицу из коэффициентов при неизвестных ( сама табличка называется матрицей) и найдём значение знаменателя ( принято говорить : вычислим определитель ).

; = 1·1 – (-1)·2 = 3;

Конечно, ясно, что от такой записи нисколько не легче, если не указать, как ею пользоваться.

Умножать надо «по стрелкам», причем если стрел­ки идут слева — вниз — направо, то произведение надо брать со знаком плюс, если же справа — вниз — налево, то со зна­ком минус. Запомнить такое правило очень легко.

А теперь остаётся проделать такие же вычисления для и :

= -5· 1 - (-7)· (-1) = -12;

= 1· (-7) - (-5)· 2 = 3;
Значит, и

Ответ: ( -4; 1).
Пример 8.

Решить систему линейных уравнений:



Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).


Ответы для самостоятельного решения:

1) Ответ: ( -1; 1).

2) Ответ: ( 4; 2).

3) Ответ: ( 0,5; -1).

Похожие:

Решением системы уравнений. Решить систему iconМетодические указания к выполнению лабораторных работ Лабораторная работа №1
Найдём точки пересечения прямой с параболой. Решая систему уравнений, находим A(0;2) и B(8;-6). Переменная y изменяется от -6 до...
Решением системы уравнений. Решить систему iconВекторная алгебра и аналитическая геометрия
Найдите общее решение и фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений
Решением системы уравнений. Решить систему iconУрок по теме «Системы линейных уравнений»
Дано уравнение. Составьте еще одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему
Решением системы уравнений. Решить систему iconРешение : Приводим исходную систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами
Цель работы: Сформировать у студентов представления о прямых и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать...
Решением системы уравнений. Решить систему icon1 Расчет линейной электрической цепи постоянного тока Задание
Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для определения токов во всех ветвях цепи
Решением системы уравнений. Решить систему iconАлгоритм решения системы n линейных уравнений методом Гаусса- зейделя...
Пусть x(k-1) и x(k) (k≥1) – два последовательных приближения решения линейной системы x=αx+β
Решением системы уравнений. Решить систему iconЛабораторная работа №5 Численные методы решения систем нелинейных уравнений
Цель работы: Сформировать у студентов представления о методах решения систем нелинейных уравнений, привить умения составлять и применять...
Решением системы уравнений. Решить систему iconI. Проверка домашнего задания
Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений
Решением системы уравнений. Решить систему iconИсследование свойств линейных систем уравнений
Разработка методов дифференциальных уравнений для решения задач математической физики и других прикладных наук
Решением системы уравнений. Решить систему icon1. Решение системы линейных неоднородных уравнений
Критерий Стьюдента и его использование при обработке результатов химических экспериментов
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
dopoln.ru
Главная страница