Урок обобщения и систематизации знаний




НазваниеУрок обобщения и систематизации знаний
страница1/3
Дата публикации17.10.2016
Размер9.76 Kb.
ТипУрок
  1   2   3
Учитель: Зыкова О.Е. Конспект урока

Класс: 11 – физико-математический профиль.

Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Тип : Урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: семинар

Цели урока:

1. Систематизировать способы решения иррациональных уравнений; стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения, научить применять полученные знания при решении уравнений повышенного уровня сложности.

2. Развивать логическое мышление, память , познавательный интерес, продолжать формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение обобщать, делать выводы.

3. Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради и на доске, прививать аккуратность, учить умению выслушивать других и умению общаться.

Оборудование: компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний.

  3. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений,

рассмотрение новых.

  1. Закрепление

  2. Итог урока

  3. Домашнее задание

Ход урока

  1. Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.

  2. Актуализация знаний.

Вспомним, что иррациональным уравнением называется такое уравнение, в котором переменная находится под знаком радикала. Решение иррационального уравнения основывается, как правило, на сведении его к равносильному с помощью элементарных преобразований. Ранее нами были рассмотрены некоторые способы решения иррациональных уравнений: а) уединение радикала и возведение в квадрат обеих частей уравнения (иногда не один раз) б) определение области допустимых значений неизвестного.

Устная работа.

  1. Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

а) x + = 2; б) x=1+x; в)у +=2; г) =3?

Ответ: а), в), г).

  1. Является ли число x0 корнем уравнения:

а)  =  , x0 = 4; б) = , x0 = 2; в)  = -  , x0 = 0?

Ответ: а)нет, б)да, в) нет.

  1. Выясните, при каких значениях x имеет место равенство:

а)  = ; б)  = 

Ответ: а)при x , б) при x.

  1. Не решая следующих уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней:

а)  +  = - 2; б)  +  = - 4;

в)+ = - 1; г)  + = - 1.

Ответ: при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу.

  1. Найдите область определения функции:

а) у = ; б) у =  + ; в) у =  + .

Ответ: а).
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и помнить и другие методы решения иррациональных уравнений, о которых мы сегодня и будем говорить: метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножение на сопряженный множитель; приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину; графический и функциональный методы решения иррациональных уравнений; использование неравенства Коши при решении иррациональных уравнений; использование свойств уравнения вида f(f(x)) = x и др. методы.

Группа ребят подготовили задания по одному из методов решения. Они вам покажут, как их применяют, вы должны записывать решение и задавать вопросы.

  1. Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение новых.

1-й ученик.

  1. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональным.

Рассмотрим уравнение вида  Прежде всего, остановимся на области допустимых значений иррационального уравнения, под которой будем понимать множество таких значений переменной, для которых определена каждая функция, входящая в уравнение.

Например, для уравнения  -  =5 областью допустимых значений служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть пустое множество. Значит, уравнение решений не имеет.

Рассмотрим еще один пример  = 0. Областью допустимых значений данного уравнения служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть одноэлементное множество. Непосредственная подстановка числа 2 в уравнение показывает, что 2 –его корень.

2. Как уже говорилось, основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n- четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

а) Если n = 2k+1, то уравнение  = h(x) равносильно на множестве действительных чисел уравнению g(x) =(h(x))2k+1.

б) Если n = 2k, то уравнение  = h(x) равносильно на множестве действительных чисел системе 

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», после чего обе части уравнения возводятся в степень n.

Решим уравнения:

Пример 1. .

Решение

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение: . Возведем обе части этого уравнения в квадрат: , .

Полученное уравнение равносильно смешанной системе:



система равносильна совокупности двух систем:

 или 

Ответ: x = 1.
Пример 2. Решить уравнение и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение.

Решение

Перепишем данное уравнение так:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, получим:

или

Снова возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим



Остается установить, при каких значениях a уравнение имеет решение.

Подставляя в данное уравнение вместо x выражение получим:





Последнее равенство рассмотрим на каждом из четырех промежутков:



Если , то равенство примет вид: и выполняется тождество. Следовательно, при уравнение имеет решение.

Если , то равенство примет вид: которое не выполняется при ; следовательно, при a = 0 уравнение не имеет решений.

Если , то равенство не выполняется, так как

Если , то равенство выполняется, так как

Итак, при и при уравнение имеет единственный корень

При уравнение не имеет решений.
Ответ:

1. При уравнение имеет единственный корень

2. При уравнение не имеет решений.
2-й ученик. ( Введение новой переменной)

Замена переменной в иррациональном уравнении используется довольно часто. Она, как правило, позволяет свести данное иррациональное уравнение к рациональному или, по крайней мере, упростить его.

Пример 1. 2x2+3x -3 + =30.

Решение. Пусть y= , у Тогда  = у2 - 9 и уравнение примет вид: у2 - 9 – 3 + у = 30. Решаем его:

 система равносильна совокупности двух систем:
 или 

Возвращаясь к исходной переменной, получим: = 6,  = 36,  - 27 = 0, x1= 3, x2 = - 4,5. Т.к. все совершенные преобразования были равносильными, то проверять эти числа не следует.

Ответ: - 4,5; 3.

Пример 2. .

Решение. Выражения и являются взаимно обратными, если они не равны нулю, т. е. , т. е. область допустимых значений:



В самом деле: .

Пусть , получим смешанную систему:



система равносильна совокупности двух систем:
 или 

Возвращаясь к старой переменной, получим:

- это значение переменной входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.
Ответ: 2,5.
Пример 3.

Решение.

Пусть тогда отсюда можно исключить x и получить уравнение, содержащие переменные u и v.

Из системы уравнений исключим x:



Подставляя значения в первоначальное уравнение, получим:

Приходим к системе уравнений:

Подставим значения u из второго уравнения в первое, получим:



Это биквадратное уравнение. Положим тогда придем к квадратному уравнению: которое имеет два корня: не удовлетворяет условию и является посторонним корнем. Находим:

Ответ: - 3
3-й ученик. ( Выделение полного квадрата (квадрата двучлена) и приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину )

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений:

Замечаем, что под знаками корней находятся полные квадраты. Преобразуем их:

Приходим к уравнению, содержащему модули:


При получаем уравнение Это значение x не входит в промежуток

При получаем уравнение Это значение также не входит в промежуток и не может быть корнем уравнения.

При получаем уравнение - не является корнем уравнения.

При получаем - не является корнем.
Ответ: корней нет.

Пример 2.  + =1

Решение. Считая x 1, произведем замену  = у, у и решим уравнение (у2= x -1, тогда x = у2 +1):


 +  = 1  + =1 + =1

   2.

Сделаем обратную замену и решим неравенство:

 4 5

Таким образом, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: 

Пример 3.

Решение.



. Раскроем модули. Т.к. -1 ≤ сos0,5 x≤ 1, то -4 ≤ сos0,5x - 3 ≤ -2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение :3- - 3 + 2  = 1

cos0,5x = 1

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.
  1   2   3

Похожие:

Урок обобщения и систематизации знаний iconУрока : Урок обобщения и систематизации знаний и умений
О.: Систематизировать и обобщить теоретические знания, закрепить практические умения
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок обобщения и систематизации знаний. Тема урока
Цель: Аппликатура должна способствовать свободному исполнению музыкального произведения
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепления умений
В каких сферах человеческой деятельности может оказаться необходимым создание и ведение бд?
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок систематизации и обобщения знаний и умений
Оборудование: музыкальный центр, мультимедийный проектор, портрет писателя, иллюстрации к сказке, выставка произведений Антуана де...
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрока: Урок обобщения и систематизации знаний. Оценка педагогической ситуации
Развивать умение сравнивать, обобщать, умение применять свои знания в нестандартных ситуациях
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок 38. Итоговый урок по теме «Русская равнина»
Тип урока: урок систематизации знаний, контроля за качеством усвоения знаний и умений
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок обобщения знаний по теме «Подцарство Простейшие или Одноклеточные животные»
Урок обобщения знаний по теме «Подцарство Простейшие или Одноклеточные животные»; учитель биологии Кобзева Наталия Алексеевна
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок-практикум Тема урока: Н. В. Гоголь «Ночь перед Рождеством»....
Цель урока: Организовать деятельность учащихся по систематизации знаний, создать условия для подготовки к гиа по русскому языку:...
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок-игра как форма обобщения знаний по теме: «Первоначальные химические понятия»
В 8-ом классе после изучения каждого раздела проводим обобщение и повторе­ние знаний в игровой форме. Это уроки-соревнования, квн,...
Урок обобщения и систематизации знаний iconУрок обобщения и контроля знаний по теме: "Внутренние воды и водные ресурсы России", 8-й класс
Отработка, закрепление и систематизация знаний и умений по теме, повторение номенклатуры
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
dopoln.ru
Главная страница