Методические указания и контрольные задания




НазваниеМетодические указания и контрольные задания
Дата публикации17.10.2016
Размер9.76 Kb.
ТипМетодические указания
Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

_____________________

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.Н.ТУПОЛЕВА

Анфиногентов В.И., Овчинников В.А.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Методические указания и контрольные задания

Учебное пособие

Казань 2004


Образец выполнения типового контрольного задания.

  1. Исследовать разностную схему

(1)

на устойчивость.

Решение. Для анализа устойчивости разностной схемы воспользуемся так называемым методом гармоник [13]. Будем искать частные решения уравнения (1), имеющие вид

, (2)

где – мнимая единица: ; - любое вещественное число, - число подлежащее определению. Подставляя (2) в разностное уравнение (1), получим

,

где Разделив обе части этого уравнения на , найдем





Корни этого квадратного уравнения

- вещественные и различные.

Если для некоторого значения множитель станет по модулю больше единицы, то решения вида (2) будут неограниченно возрастать при . В этом случае разностное уравнение называется неустойчивым. Если же для любых значений , все решения вида (2) ограничены при любом и разностное уравнение называется устойчивым.

Рассмотрим неравенство

Отсюда, раскрывая модуль, получим

, так как . Имеем

Последнее неравенство для произвольных значений не выполняется ни при каких значениях и .

Следовательно, разностная схема неустойчива.
2. Исследовать разностную схему на устойчивость.

(3)

на устойчивость.

Решение. Подставляя (2) в (3) и сокращая на получим

где . Отсюда найдем

, ,

, ,

. () (4)

Корни этого квадратного уравнения имеют вид .

Предположим, что дискриминант . Это возможно когда ,, . Очевидно, что для произвольных значений последнее неравенство не выполняется ни при каких значениях и . Предположим, что дискриминант , что приводит к неравенству . Это неравенство выполняется для любых значений при . В этом случае корни квадратного уравнения (4) могут быть записаны в виде . Тогда .

.

Следовательно, схема устойчива при .
3. Построить разностную аппроксимацию производной , имеющую порядок аппроксимации , используя лишь значения .
Решение. Разложим функции в ряд Тейлора с центром в точке :







Умножим первое из полученных разложений на , второе на , третье на и сложим почленно полученные соотношения:



Разрешим это выражение относительно :

(5)



Сумма слагаемых в правой части этого равенства, содержащих производные, имеет порядок . Для получения заданного порядка аппроксимации производной положим



откуда Тогда равенство (5) примет вид



Откуда окончательно найдем



  1. Найти все экстремали функционала



удовлетворяющие граничным условиям

Решение. Имеем Уравнение Эйлера принимает вид Решая его, получим



  1. Найти все экстремали функционала



удовлетворяющие граничным условиям

Решение. Имеем Уравнение Эйлера –Пуассона запишется как Решая его, получим




  1. Найти все экстремали функционала в задаче на условный экстремум




Решение. Введем функцию Лагранжа данной задачи

тогда Для определения функций и запишем систему, состоящую из уравнений Эйлера и уравнения связи:



Исключим из этой системы сначала функцию прибавив к первому уравнению системы продифференцированное второе, что дает



а затем, используя уравнение связи, исключим . В результате получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции :



Общее решение этого уравнения



Отсюда находим



Для определения постоянных из граничных условий получаем следующую систему уравнений:





откуда

Итак, экстремалями функционала являются функции:



  1. Найти все экстремали функционала в задаче на условный экстремум



Решение. Функция Лагранжа данной задачи имеет вид где Из уравнения Эйлера находим .

Удовлетворим граничным условиям задачи



откуда

Для определения множителя Лагранжа используем изопериметрическое условие





откуда находим
^

Итак, функционал может достигать экстремума при





  1. Найти приближенное решение вариационной задачи



Ограничиться приближениями искомой экстремали в виде где выбирается из условия выполнения граничных условий, а .

Решение. а) Решим задачу методом Ритца.

Положим Тогда координатные функции удовлетворяют граничным условиям: ;

Подставляя последние два выражения в функционал, получим













Значения постоянных и выбираются так, чтобы функция достигала экстремума, т.е. и определяются из системы уравнений



В рассматриваемом случае это дает



Отсюда .

Следовательно, искомое приближенное решение имеет вид

.
б) Решим задачу методом Галеркина.

Исходная вариационная задача сводится к эквивалентной краевой задаче для уравнения Эйлера



Обозначим . Приближенное решение будем искать в виде



Тогда



. - невязка дифференциального уравнения на приближенном решении . Согласно методу Галеркина, неизвестные коэффициенты и определяются из условия ортогональности на отрезке [1;2] невязки к координатным функциям и :





что в подробной записи имеет вид





.

Вычисляя интегралы, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно и





Решая эту систему, найдем , .

Итак, искомое приближенное решение имеет вид:

.

^

Список литературы





  1. Анфиногентов В.И., Гараев К.Г., Егоров Г.А., Овчинников В.А., Чернявский С.М. Теоретические основы математического моделирования: Учебное пособие. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2001. 126 с.

  2. Аминов Н.М., Гараев К.Г., Овчинников В.А. Элементы теории поля и уравнений математической физики: Учебное пособие. Казань: КАИ, 1991. 56 с.

  3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

М.: Наука, 1965. 424 с.

  1. Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Тимофеева В.М. Математический анализ (специальные разделы). Общие функциональные ряды и их приложения. Ч.1 Учебное пособие для ВТУЗов. М.: Высшая школа, 1980. 280 с.

  2. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986. 256 с.

  3. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961. 228 с.

  4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4., Ч.1. М.: Наука, 1974. 336 с.

  5. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Ч.4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. Учебное пособие / Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Под ред. Ефимова А.В. М.: Наука, 1990. 304 с.

  6. Овчинников П.Ф., Лисицин Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика: Учебное пособие. Киев: Вища шк., 1989. 680 с.

  7. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Наука, 1994. 302 с.

  8. Эндрюс Дж., Мак-Лоун Р. (ред.) Математическое моделирование. М.: Мир, 1979. 278 с.

  9. Дульнев А.В., Парфенов Г.Н., Сигалов В.Г. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990. 207 с.

  10. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 616 с.


Похожие:

Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов телекоммуникационных...
Экономика отрасли: Метод указания и контрольные задания для студ телеком спец заочной формы обуч. Бгуир/Сост. Г. Т. Максимов. – Мн.:...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Инженерная графика. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения. /Составитель: Диванова О. П.,...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочного...
Методические указания к контрольной работе составлены в соответствии рабочей программой по дисциплине оп. 02 Техническая механика...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочного...
Методические указания к контрольной работе составлены в соответствии рабочей программой по дисциплине оп. 04 Техническая механика...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов, обучающихся...
Программа учебной дисциплины с перечнем рекомендуемой литературы, методическими указаниями по изучению каждой
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Методические указания для студентов заочной формы обучения при изучении курса «Основы проектной деятельности» предназначены для реализации...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и задания для выполнения контрольной работы...
Информационно-измерительная техника и электроника : методические указания и задания для выполнения контрольной работы / Е. И. Папанцева,...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Рассмотрено на заседании цикловой методической комиссии специальностей «Техническое обслуживание и ремонт автотранспорта», «Механизации...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Рассмотрено на заседании цикловой методической комиссии специальностей «Техническое обслуживание и ремонт автотранспорта», «Механизации...
Методические указания и контрольные задания iconМетодические указания к выполнению задания
Цель задания. Изучить характер влияния стиля общения учителя на формирование учебных интересов учащихся
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
dopoln.ru
Главная страница