Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание»




НазваниеБ. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание»
Дата публикации17.10.2016
Размер9.76 Kb.
ТипЛекция
ДЕСКРИПТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ1

Б.И. Сёмкин

В биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» используется для формализации первичных экспериментальных данных и от его определения в конечном счёте зависит способ их дальнейшего анализа. Естественное возникает потребность в строгом определении такого фундаментального понятия, как «описание». Математическое понятие «дескриптивное множество» (descriptive set) является экспликацией понятия «описание».

  1. Определение 1. Конечное множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие неотрицательное число («вес»), называется «дескриптивным множеством».

Дескриптивное множество ^ A определяется заданием весов μ(xi) для каждого элемента xi (= 1,…,r) множества X:

.

Пустое дескриптивное множество Ф имеет все веса равные нулю, т.е. μФ (xi) = 0, = 1,…,r.

  1. Перечислим основные определения, относящиеся к дескриптивным множествам.

Два дескриптивных множества A и B считаются равными (обозначается A = B) тогда, и только тогда, когда {C. 83} для всех xi.

Сокращенно это определение можно записать в символах:

, = 1,…,r (1)

(знак читается: тогда и только тогда когда…).

Отношение включения (обозначается символом ):

, = 1,…,r (2)

Отношение строгого включения (обозначается символом ):

, = 1,…,r (3)

Объединение (обозначается символом ):

, = 1,…,r (4)

Пересечение (обозначается символом ):

, = 1,…,r (5)

  1. Для дескриптивных множеств справедливы следующие тождества:

(коммутативность пересечения) (6)

(коммутативность объединения) (7)

(идемпотентность пересечения) (8)

(идемпотентность объединения) (9)

{C. 84}

(ассоциативный закон для пересечения) (10)

(ассоциативный закон для объединения) (11)

(пересечение распределяет объединение) (12)

(объединение распределяет пересечение) (13)

Приведем доказательство одного из тождеств, например, последнего. Для доказательства тождественности двух дескриптивных множеств нужно показать, что соответствующие элементы множеств имеют равные веса. Следовательно, для доказательства тождества (13) нужно показать справедливость соотношения между весами:



Справедливость этого отношения легко проверяется рассмотрением шести случаев упорядочивания весов:



  1. Операции объединения и пересечения можно распространить на случай конечного множества числа дескриптивных наборов.

Пусть семейство множеств.

Объединением семейства множеств A называется множество, обозначаемое через и определяемое так:

, = 1,…,r (14)

{C. 85}

Пересечением семейства множеств A называется множество:

(15)

  1. Меру дескриптивного множества A определим как сумму его весов, т.е.:

(16)

Очевидны следующие свойства меры дескриптивного множества:

(I) ;

(II) ;

(III) .

Первое свойство следует из следующего соотношения между весами:

.

Просуммировав обе части этого тождества получим соотношение (I). Используя соотношение [5]:



получим следующее тождество:

. (17)

  1. Определение 2. Пусть V – непустое конечное семейство множеств. Функция (где – множество действительных {C. 86} чисел) называется ассиметричной мерой сходства на V, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

(I) ;

(II) ;

(III) .

Если кроме указанных аксиом справедлива ещё аксиома симметричности:

(IV) ,

то – называется мерой сходства. Для меры сходства справедливы следующие свойства:

(I`) ;

(II) ;

(III`) ;

(IV) .

Меры сходства определяются с точностью до монотонно возрастающего преобразования φ, т.е. если – мера сходства, то – также мера сходства.

Ассиметричной мерой различия двух дескриптивных множеств назовем функцию:

,

где – ассиметричная мера сходства.

Если и , то меру сходства можно нормировать. {C. 87}

Нормированную меру сходства двух дескриптивных множеств будем называть относительной мерой сходства, а соответственную ей нормированную меру различия – относительной мерой различия.

Рассмотрим некоторые меры сходства и различия. Легко проверить, что функция:

, (18)

где – мера дескриптивного множества, удовлетворяет аксиомам меры сходства.

Относительная мера сходства двух дескриптивных множеств равна:

. (19)

Используя дробно-линейное монотонно возрастающее преобразование получим континуум мер сходства:

, (20)

где , .

Мера различия, соответствующая мере сходства (18), относительные меры различия соответствующие относительным мерам сходства (19) и (20) равны:

(21)

(22)

(23)

{C. 88}

Функция удовлетворяет аксиомам ассиметричной меры сходства.

Очевидно, , следовательно, приведенная мера – есть относительная ассиметричная мера сходства.

Обозначим эту меру следующим образом:

. (24)

В силу асимметрии существует ещё мера:

. (25)

Подобно (20) можно записать:

, (26)

. (27)

Рассматриваемые нами ассиметричные меры сходства связаны с симметричными мерами следующими соотношениями:

(28)

. (29)

Можно также рассматривать меры сходства и различия n дескриптивных множеств [6]:

, (30)

{C. 89}

где , .

; (31)

(32)

(33)

Подробно запишем одну из мер сходства n дескриптивных множеств:



  1. 2Приведем некоторые сведения о разбиениях дескриптивного множества. Дескриптивные множества A и B называются непересекающимися, если .

Под чётким разбиением дескриптивного множества A будем понимать представление этого множества в виде семейства множеств , = 1,…, n таких, что:

(I) , = 1,…, n;

(II) ;

(III) .

Используя понятие меры дескриптивного множества, приведенные {C. 90} условия можно записать в виде:

(I`) , i = 1,…, n;

(II`) ;

(III`) .

Обычно в приложениях приходится иметь дело с пересекающимися дескриптивными множествами и производить разбиение дескриптивного множества на пересекающиеся множества.

Естественно, в этих случаях, потребовать такого разбиения множества на семейство множеств, чтобы «суммарное»пересечение их было минимальным в некотором смысле.

Такие разбиения будем называть нечеткими разбиениями дескриптивного множества.

Пример. Пусть даны три дескриптивных множества:

, , .

Множество можно разбить на следующие множества:

1) 2) 3) 4) .

Найдем «суммарное» пересечение множеств в каждом из разбиений. Соответственно получаем:



{C. 91}





Следовательно, нечеткое разбиение множества E будет , для которого .

  1. 3Понятие нечеткого разбиения дескриптивного множества может быт использовано в задачах одноуровневой классификации. В задачах иерархической классификации могут быть применены ассиметричные меры сходства [7]. {C. 92}

Следует отметить, что дескриптивные множества есть выборки из генеральной совокупности, которые, по предположению, отражают свойства её в целом. Введенные нами функции на дескриптивных множествах естественно называть дескриптивными статистиками [7].

Как отмечает Г. Сэлтон [7]: «… статистики не предсказательного типа, целью которых является вывод обобщенных достоверных заключений по результатам наблюдений по небольшим выборкам, а скорее дескриптивные статистики, используемые для расчёта ряда параметров выборочных совокупностей данных или документов, которые, по предположению, отражают свойства массива в целом».

В биоценологии в задачах классификации наиболее часто используются дескриптивные статистики [3, 4].

Разработка теории дескриптивных множеств позволяет найти естественные алгоритмы классификации в биоценологии и географии. В отличие от существующих алгоритмов классификации, в алгоритмах, построенных на принципах дескриптивных множеств, можно производить операции на самими объектами.
ЛИТЕРАТУРА

  1. Pillon E.C. The measurement of diversity in different types of biological collections. T. Teoret. Biol., 13, 1966.

  2. Фрей Т.Э.-А. Фитоценоз как многомерная стохастическая система. Труды Московского общества испытателей природы. Т. XXXVIII, 1970.

  3. Василевич В.И. Статистические методы в геоботанике. Л., Наука, 1969.

  4. Полиа Н., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т.П., М., Изд-во технико-теоретической литературы. 1956. {C. 93}

  5. Сёмкин Б.И. Об аксиоматическом подходе определению мер различия и квазиразличия на семействах множеств. В сб. «Информационные методы в системах управления измерения и контроля». Т. 1. Владивосток, 1972.

  6. Сэлтон Г.А. Автоматическая обработка, хранение и поиск информации. М., Советское радио, 1973. {C. 94}

1 Сёмкин Б.И. Дескриптивные множества и их приложения // Исследование систем. Т. 1. Анализ сложных систем. Владивосток: ДВНЦ АН СССР. 1973. С 83-94.

Это полностью перепечатанный Горшковым М.В для удобства восприятия экземпляр данной статьи. Окончание страницы первоисточника обозначим {C. №_страницы}.

2 В работе Б.И. Сёмкина этот пункт является 8-м, а сам 7-ой пропущен.

3 См. предыдущее примечание.

Похожие:

Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconУрока: Описание животного. Цели урока
Выяснить, как строится описание животных. Сравнить описание в научном и художественном стилях
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconКакими же методами может быть достигнуто точное описание сказки?
В результате получится морфология, т е описание сказки по составным частям и отношению частей друг к другу и к целому
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconТема 1
Дать описание общей структуры, возможностей, преимуществ и недостатков спецификации Gigabit Ethernet и произвести описание сетевых...
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconОписание применения программы 2013г. Содержание Описание главного модуля программы Прием заказов
Данное программное обеспечение используется для приема и управления заказами поступающими в диспетчерскую службу
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconОсновная образовательная программа на 2013-2014 учебный год содержание....
Описание «модели» выпускника мбоу «Буторлинская основная общеобразовательная школа»
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconРуководство по комплектам «mmpi 0» и«wais 0». Описание комплекта «mmpi V 0»
Описание комплекта «mmpi 0» Представленный комплект является базисным инструментом профессиональной компьютерной психодиагностики...
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconБлоки питания датчиков
Данное техническое описание и инструкция по эксплуатации (в дальнейшем – то) содержит технические данные, описание принципа построения...
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconПолитико-психологические портреты политических лидеров Описание типов...
Описание типов политических стилей (поведенческий компонент личности) и их критериев
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconДанное описание составлено на основе обобщения опыта использования...
Данное описание составлено на основе обобщения опыта использования всех компонентов продукта в традиционной и официальной медицине...
Б. И. Сёмкин в биоценологии часто употребляются такие понятия, как «биологическая коллекция» [1], «совокупность», «биологическое описание», фитоценотическое описание [2] или просто «описание» [3]. В всех случаях понятие «описание» iconДанное описание составлено на основе обобщения опыта использования...
Данное описание составлено на основе обобщения опыта использования всех компонентов продукта в традиционной и официальной медицине...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
dopoln.ru
Главная страница