Тема Делимость чисел




НазваниеТема Делимость чисел
Дата публикации17.10.2016
Размер9,76 Kb.
ТипДокументы

Дистанционная математическая школа

Код курса: М 7

7-8 классы

Тема 3. Делимость чисел
Делимость - способность одного числа делиться на другое. Свойства делимости зависят от того, какие множества чисел рассматривают. Если рассматривают только целые положительные (натуральные) числа, то говорят, что одно число делится на другое (является кратным другого), если частное от деления первого числа на второе будет также целым числом.

Число называется простым, если у него нет делителей, отличных от него самого и от единицы (например, числа 2, 3, 5, 7, 97, 199 и т.д.), и составным в противном случае. Число 1 не является ни простым числом, ни составным. Обратим внимание, что среди простых чисел только одно четное – 2.

Доказано, что простых чисел - бесконечно много. Таблицы простых чисел печатаются в математических справочниках и учебниках, их можно найти в Интернете.

Учителю. Напомните ученикам о методе нахождения простых чисел – решете Эратосфена.
Таблица простых чисел до 1500.


2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1069

1087

1091

1093

1097

1103

1109

1117

1123

1129

1151

1153

1163

1171

1181

1187

1193

1201

1213

1217

1223

1229

1231

1237

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1321

1327

1361

1367

1373

1381

1399

1409

1423

1427

1429

1433

1439

1447

1451

1453

1459

1471

1481

1483

1487

1489

1493

1499









































Задание 1. Если простые числа отличаются на 2, то их называют числами-близнецами. Например, в первой сотне это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73. Назовите числа-близнецы из пятой сотни.

^ Ответ: 419 и 421, 431 и 433, 461 и 463.

Учителю. Можно провести несколько игр на эту тему: устроить соревнование по нахождению чисел–близнецов, сравнить разные сотни по количеству пар и т.д.
^ Числа Мерсенна.

Марен Мерсенн (1588 - 1648) - французский математик и философ. Со времен учебы дружил с Декартом. Переписывался с Галилеем, Паскалем, Торричелли и Ферма. Когда он жил в Париже, то в его доме еженедельно происходили собрания математиков и физиков, сообщавших результаты своих исследований. Позднее при содействии Кольбера в 1666 году из этого кружка образовалась парижская академия наук. Сочинения самого Мерсенна были посвящены богословию, физике и теории чисел.

Мерсенн исследовал числа вида Мр = 2р- 1, где р – простое число.

М2 = 22- 1 = 3; простое число;

М3= 23- 1 = 7; простое число;
Задание 2. Найдите первых шесть чисел Мерсена и определите, есть ли среди них составные числа.

Решение.

М5 = 25- 1 = 31; простое число.

М^ 7 = 127 - простое число.

М11 = 2047 – составное (23∙89).

М13 =8191 –простое.

Ответ. М11 – составное число.
Математикам всегда было интересно найти самое большое простое число. Леонард Эйлер в своё время нашел большое простое число 231 − 1 = 2147483647.


p

Число цифр в числе p

Год открытия

Кто открыл

2127 – 1

39

1876

Люка

(2148 + 1)/17

44

1951

Феррье

114(2127 – 1) + 1
180(2127 – 1)2 + 1

41
79

1951

Миллер + Уиллер + EDSAC 1

2521 – 1
2607 – 1
21279 – 1
22203 – 1
22281 – 1

157
183
386
664
687

1952

Лемер + Робинсон + SWAC

23217 – 1

969

1957

Ризель + BESK

24253 – 1
24423 – 1

1281
1332

1961

Хурвитц + Селфридж + IBM 7090

29689 – 1
29941 – 1
211213 – 1

2917
2993
3376

1963

Гиллис + ILIAC 2

219937 – 1

6002

1971

Таккермэн + IBM 360













На сегодняшний день известно более 40 простых чисел Мерсенна. Современная техника позволяет ускорить процессы вычислений, однако все равно это трудоемкий процесс, и тому, кто найдет простое число из более чем 100 000 000 цифр обещана большая премия.
Число называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от него самого. Например, 6 – совершенное число, так как 6 = 1 + 2 + 3.

Евклид обнаружил, что если число 2p – 1 – простое, то число 2p–1(2p – 1) будет совершенным. Например, для р =2, 2р- 1 = 22- 1 = 3; 2p–1(2p – 1) = 22–1(22 – 1) =2∙3 =6.

Через века Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид. Существуют ли вообще нечётные совершенные числа науке до сих пор неизвестно.
Задание 3. Найдите три совершенных числа.

Решение.

Если р = 3, 2р- 1 = 23- 1 = 7, 2p–1(2p – 1) = 23–1(23 – 1) = 4∙7 = 28. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Если р = 5, 2р- 1 = 25- 1 = 31, 2p–1(2p – 1) = 25–1(25 – 1) =16∙31 =496.

496 = 1 + 2 + 4 + 6 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Если р = 7, 2р- 1 = 27- 1 = 127, 2p–1(2p – 1) = 27–1(27– 1) =64∙127 =8128.

8128 = 1 + 2 + 4 +8 + 16 + 32+ 64 + 127 + 254 + 508 +1016 + 2032 + 4064.

Ответ: 28, 496, 8128.
Любое целое число можно представить в виде произведения простых чисел или разложить на простые множители. Например, 504 = 222337, причём это разложение единственно с точностью до порядка множителей (как говорят, однозначно). Так, разложение числа 504 на множители может быть записано также следующим образом:  504 = 327322 = 732232 и т.д., однако все эти разложения отличаются только порядком множителей.
^ Основная теорема арифметики. Любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на произведение простых чисел единственным образом.

Запись числа в виде произведения степеней в порядке возрастания их оснований называется каноническим разложением числа: 504 = 233271
В общем случае, число n делится на простое число р тогда и только тогда, когда р встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.

Существует ряд признаков делимости, по которым можно легко определить, делится ли натуральное число n на данное простое число р.

  1. Число делится на 2, если оно оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то есть, если оно четное.

  2. Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

  3. Число делится на 3 или на 9, если сумма цифр числа делится на 3 или на 9 соответственно. Например, число 414 делится и на 3 и на 9 (сумма цифр равна 9), а число 417 делится на 3, но не делится на 9 (сумма цифр равна 12, делится на 3 и не делится на 9).

  4. Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11. Например, число 1969 делится на 11 (сумма цифр, стоящих на четных местах равна 18, а на нечетных - 7).


Есть более сложные признаки делимости, но иногда полезно знать и о них.

5. Число делится на 7 или на 13, если на эти числа делится разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами; эта операция уменьшает число знаков в числе, и последовательное её применение приводит к трёхзначному числу. Например, 825 678 делится на 7, т.к. 825678 = 147 делится на 7.
Задание 4: Припишите к числу 1 000 000 три цифры справа так, чтобы число делилось на 7, 8 и 9.

Решение. Чтобы искомое число делилось на 8, число, составленное из приписанных цифр должно делиться на 8; чтобы делилось на 9 – сумма цифр искомого числа должна делиться на 9. Получить такое число (делится на 8 и 9) самым простым способом можно приписав 008. Получится число 1000 000 008. Проверим делимость его на 7.

По признаку делимости на 7: 1000000 – 8 = 999992;

999 -992 = 7; 7 делится на 7.

Или просто делим, 1 000 000 008: 7= 142 857 144. Мы получили искомое число.

Ответ: 1000 000 008.
Кроме признаков делимости на простые числа существуют также признаки делимости на составные числа. Например:

  1. Число делится на 4, если число, записываемое двумя последними цифрами этого числа, делится на 4.

  2. Число делится на 8, если число, записываемое тремя последними цифрами этого числа, делится на 8.


Установлено, что если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение. На этом факте основаны простые признаки делимости на 6 = 23, на 12 = 34, на 15 = 35, на 18 = 29 и т.д.


  1. На 6 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 3. Например, 12432 делится на 6, так как делится и на 2 и на 3.

  2. На 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель). Например, 75348 делится на 12, так как делится и на 3 и на 4.

  3. На 15 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 5. Например, 23520 делится на 15, так как делится и на 3 и на 5.

  4. На 18 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2 и на 9. Например, 13518 делится на 18, так как делится и на 2 и на 9, и т.д.

Учителю. Попросите учеников самим придумать и сформулировать новые признаки делимости и примеры (например, на 21=37, 45 =59 и т.п.)
Полезно помнить и следующие свойства делимости чисел.

  1. Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.

  2. Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

  3. Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это же число.

  4. Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это же число.

  5. Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.


Задание 5. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.

1 число

2 число

3 число

Сумма

Произведение

д

д

д







н

д

д







д

н

д







д

д

н







н

н

д







н

д

н







д

н

н







н

н

н








Решение.


1 число

2 число

3 число

Сумма

Произведение

д

д

д

д

д

н

д

д

н

д

д

н

д

н

д

д

д

н

н

д

н

н

д

Может делиться,

может не делиться

д

н

д

н

Может делиться,

может не делиться

д

д

н

н

Может делиться,

может не делиться

д

н

н

н

Может делиться,

может не делиться

н



Задание 6. Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.
Задание 7. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

Решение.

А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.

Б) Ложное. Пример: 6  10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.

В) Ложное. Пример: 6  10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.

Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

^ Общие делители и кратные.

  Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка. Например, числа 1, 2, 3, 4, 6, 12 являются общими делителями для чисел 36 и 24, а числа 14 и 15 имеют только один общий делитель – 1.

Для двух и более чисел среди всех их общих делителей существует наибольший, называемый наибольшим общим делителем (НОД). Например, НОД (48, 36, 24)=12.

Если наибольший общий делитель двух чисел равен единице, то числа называются взаимно простыми. Например, НОД (16, 27) =1, значит, 16 и 27 – взаимно простые числа.
Задание 7. Приведите 2-3 примера взаимно простых чисел и чисел, имеющих несколько общих делителей, найдите для них НОД.
^ Общим кратным данных чисел называется любое натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел (без остатка). Например, числа 18, 12, 6, 120, 60 являются общими кратными для чисел 2 и 3.

^ Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Например, 6 – наименьшее общее кратное для 2 и 3.

Обратим внимание, что



Обычно НОД и НОК нескольких чисел находят, используя разложения чисел на простые множители. НОД равен произведению множителей, входящих в каждое разложение; НОК – произведению всех множителей, входящих хотя бы в одно разложение.
Рассмотрим множество делителей числа 20 и множество делителей числа 30:

Д(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}, Д(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

Найдем пересечение этих множеств.

Д(20)  Д(30) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 30}, а Д(20)  Д(30) = {1, 2, 5, 10}.

НОД (20,30) = 10, то есть НОД нескольких чисел – это наибольший элемент из пересечения множеств делителей этих чисел.
Задание 8. Найдите НОД и НОК для чисел:

А) 18, 63;

Б) 18, 84;

В) 63, 84;

Г) 18, 63, 84.

Ответ.

А) НОД = 9; НОК = 126.

Б) НОД = 6; НОК =252.

В) НОД = 21; НОК =252.

Г) НОД = 3; НОК = 252.
Существует способ для вычисления НОД двух чисел – алгоритм Евклида, который особенно удобен, если числа большие.

Он основан на следующих свойствах делимости:

  1. Любой общий делитель чисел а и в (а > в) является делителем числа (а - в).

  2. Любой общий делитель чисел в и (а - в) является делителем числа а.

Тогда НОД (а, в)= НОД (в, а - в ).

Например, НОД (451, 287) = НОД (451-287, 287) = НОД (164, 287) = НОД (164, 123) = НОД (41, 123) = НОД (41, 82) = НОД (41, 41) = 41.

Несмотря на свою простоту, алгоритм Евклида является важным элементом математического образования.
Рассмотрим несколько задач.

Задание 9: Вася рвет газету на 8 частей, одну из получившихся частей - еще на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2011 частей?

Решение. Так как Вася все время рвет на 8 частей, то в первый раз у него получится 8 частей, во второй раз - 15 разных частей (1∙7+8), в третий раз 22 части (27+8) и т.д., то есть каждый раз у него увеличивается на 7 частей, общее количество частей всегда имеет вид К7+8. Посмотрим на число 2011, его нельзя представить в виде К7+8. (2011 – 8 =2003, а 2003 не делится на 7). Значит, Вася не сможет разорвать газету на 2011 частей.

^ Ответ: нет.
Задание 10: Докажите, что k3 - k делится на 6 при любом целом k.

Решение. k3 – k = k(k2-1) = k(k-1)(k+1). Получили произведение трех последовательных чисел, из них одно всегда будет делиться на 3, и хотя бы одно будет делиться на 2, значит, произведение будет делиться на 6.
Задание 11. Докажите, что если р – простое нечетное число, то р2 – 1 делится на 4.

Решение. р2 – 1 = (р - 1)(р +1). Получили произведение двух чисел, одно из них больше на 1 нечетного числа, другое - меньше на 1, значит, оба четные. Произведение двух четных чисел делится на 4.

Учителю. В восьмом классе усложните задачу – докажите делимость на 8.

Произведение двух последовательных четных чисел всегда будет делиться на 8. Первое четное 2n, второе (2n + 2) , их произведение 2n(2n + 2) =2n∙2(n + 1) =4n∙(n + 1)делится на 4 и хотя бы одно из чисел n или (n + 1) будет делиться на 2, значит, произведение будет делиться на 8.
Задание 12. На какую цифру оканчивается число 32010?

Решение. Попробуем найти закономерность: 31=3, 32=9; 33=27; 34=81; 35=243; 36=729, 37=2187 и т.д. Очевидно, что последние цифры степени числа 3 начинают повторяться в определенном порядке: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… и т. д. Обратим внимание, что повторяются всего 4 цифры (3, 9, 7, 1), то есть, число равное 3n, где кратно четырем, всегда оканчивается на 1. Разделим степень числа 3 на 4: 2010=4∙500 +10 = 4∙500 +8 + 2, отсюда, 32008 оканчивается на 1, а 32010 оканчивается на 9.

Ответ: 9.

Задание 13. Найдите знаменатель дроби, полученной после сокращения .

Решение. 10100 = 2100∙5100. Следовательно, в числителе нас интересуют только множители, кратные 2 и 5.

100! = 1 ∙ 2∙ 3 ∙ 4 ∙ …..∙ 98 ∙ 99 ∙ 100 – произведение 100 первых натуральных чисел. Среди них половина четные, это дает 50 множителей равных 2. Ровно 25 чисел делятся на 4, это дает еще дополнительно 25 множителей, равных 2. На 8 делятся 12 чисел, еще 12 множителей, равных 2. На 16 делятся 6 чисел, на 32 - 3 числа, на 64 - 1. Итого 97 множителей равных 2. Значит, в каноническом разложении числителя присутствует 297. Аналогично∙рассуждая, находим 24 множителя равных 5. Значит, в каноническом разложении присутствует 524. После сокращения в знаменателе останется 23 ∙576.

^ Ответ: 23 ∙576.
Задание 14 (Кенгуру-2004): Каков наибольший делитель числа 32004 + 6, отличный от этого числа?

Решение. Число 32004 + 6 не делится на 2, так как 6 делится на 2, а 32004 – не делится. Но 32004 + 6 делится на 3. Поэтому наименьший делитель этого числа равен 3. Чтобы получить наибольший делитель, отличный от самого числа, надо это число разделить на наименьший делитель. Поэтому наибольший делитель равен (32004 + 6) : 3 = 32003 + 2.

Ответ: 32003 + 2.

^

Свойства остатков.


Мы уже знаем, что для любого натурального числа n существует представление его в виде n=km + r, где 0 r <m, k, r целые числа.

k называется неполным частным от деления n на m, а r остатком.
Задание 15. Запишите:

а) формулу четного числа;

б) формулу нечетного числа;

в) формулу числа, кратного числу b;

г) Формулу числа, которое делится на 17 с остатком 11.

Решение. а) n = 2m;

б) n = 2m+1;

в) n = km;

г) n = 17m+11.
Задание 16. При делении натуральных чисел на 4, образуются подмножества натуральных чисел, делящихся на 4 с разными остатками. Изобразите схематично, как множество натуральных чисел и эти подмножества связаны между собой. Приведите примеры чисел из каждого подмножества.

Существуют ли натуральные числа, не входящие ни в одно из этих подмножеств.

Ответ.

М
ножество натуральных чисел разбивается на четыре непересекающихся подмножества.

Натуральных чисел, не входящих ни в одно из этих подмножеств, нет.
^ Основные свойства остатков:

Пусть остаток от деления целого числа n1 на m равен r1, а остаток от деления n2 на m равен r2. Тогда:

  1. Остаток от деления n1+n2 на m равен остатку от деления r1+r2 на m;

  2. Остаток от деления n1n2 на m равен остатку от деления r1r2 на m;

  3. Остаток от деления n1n2 на m равен остатку от деления r1r2 на m.

Задание 17. Не производя вычислений, докажите, что сумма 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 делится на 7 и на 87.

Решение. Если рассмотрим попарно первое и седьмое, второе и шестое, третье и пятое слагаемые, то очевидно, что их сумма (пара чисел) будет делиться на 87 (и равна 287). Тогда вся сумма равна 787.
Задание 18. Не используя калькулятор и вычисления в столбик, найдите остаток от деления на 25 значения выражения 5355 + 2724 - 10129.

Решение. Остаток от деления на 25 числа 53 равен 3, числа 55 равен 5, числа 27 - 2, числа 24 – 24, числа 101 - 1, числа 29 – 4.

Используя основные свойства остатков, получаем:

  1. Остаток от деления на 25 произведения 5355 равен 15 (35 =15, 15 : 25 =0(ост.15)).

  2. Остаток от деления на 25 произведения 2724 равен 23 (224 =48, 48 : 25 = 1(ост.23)).

  3. Остаток от деления на 25 произведения10129 равен 4 (14=4, 4 : 25 = 0(ост.4)).

Тогда остаток от деления на 25 значения выражения 5359 + 10129 - 2724 равен

остатку от деления на 25 числа 34 (23 + 15 – 4), то есть 9.

Ответ: 9.
Задача 19 (Кенгуру-1998). Каков остаток от деления 1997-значного числа 100…00 на 15?

Р
ешение.
Попробуем начать делить число 100…00 на 15.

Очевидно, что в результате деления остаток будет равен 10.

Ответ. 10.

Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения


Похожие:

Тема Делимость чисел iconУчебникам «Алгебра и начала математического анализа 10, 11»
Понятие натурального числа. Множества чисел. Свойства действительных чисел. Метод математической индукции. Перестановки. Размещения....
Тема Делимость чисел iconДелимость чисел. Понятие делимости. Делимость суммы и произведения....
Нные числа. Модуль комплексного числа. Операция вычитания и деления. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая...
Тема Делимость чисел iconУрока: Закрепить изученный материал по теме: «Делимость чисел»
Развивать логическое мышление, математическую речь, внимание, информационную и коммуникативную компетентности, интереса к урокам...
Тема Делимость чисел iconТема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера
Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится...
Тема Делимость чисел iconТема: Путешествие в историю чисел. Обозначение чисел и счёт в Древнем Египте
Цели и задачи урока: Познакомиться с историей возникновения и развития систем счисления. Сформировать понятие позиционные системы...
Тема Делимость чисел iconУрок математическое путешествие в страну эрудитов
Способствовать выработке умений и навыков сложения целых отрицательных чисел, сложения целых чисел с разными знаками, вычитания целых...
Тема Делимость чисел iconП Методика изучения натуральных чисел
От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел...
Тема Делимость чисел iconСекреты магических чисел 6
Однако так уж незначительна ли и какова роль числительных в тексте? На этот вопрос мы решили ответить, проанализировав происхождение...
Тема Делимость чисел icon© Н. М. Козий, 2008
Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех...
Тема Делимость чисел iconФайл: ferma-okw
Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
dopoln.ru
Главная страница