Системы счисления
Системы счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора цифр или символов. Системы счисления бывают двух видов: непозиционные и позиционные.
Непозиционные системы счисления
В древние времена, когда люди начали считать, появилась необходимость в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали соответствующим количеством каких-либо значков (насечек, черточек, точек и т.д.) Изучение археологами таких «записок» показало, что люди группировали «числа» по 3, 5, 7 или 10. такая группировка облегчала счет; Т.к. первым «вычислительным инструментом» были человеческие пальцы, то счет чаще всего вели группами по 5 и по 10.
В дальнейшем, свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и пр. Такие узловые величины стали отображать особыми значками – цифрами.
Если при подсчете предметов их оказывалось, например, 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этого числа повторяли дважды знак сотни, пять раз – знак десятка и четыре – знак единицы.
Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее положения в числе.
Такая система вам знакома – это римская система счисления. Так же считали и в Древней Греции, Египте, на Руси.
На Руси буквы азбуки имели числовое значение, если над ней стоял значок «~» – тильда Ã = 1 и т.д.
Самая большая величина – 1050 – колода  . Считалось, что «более сего несть человеческому уму разумети».
В Римской системе счисления использовались следующие цифры:
-
I
|
V
|
X
|
L
|
С
|
D
|
М
|
1
|
5
|
10
|
50
|
100
|
500
|
1000
|
Правила записи чисел в римской системе счисления:
Если числа записаны в порядке убывания, то их значения складываются.
Если две цифры стоят в порядке возрастания – их значения вычитаются.
Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.
Нельзя писать подряд более трех одинаковых цифр:
Например:
VI = 5 + 1 = 6
IV = 5 – l = 4
Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3
Нельзя писать ХХХХ = 10+10+10+10. Надо: XL
Пример числа:
MCMXCVII=1000+(1000–100)+(100–10)+5+l+l=1000+900+90+7=1997
Непозиционные системы счисления более-менее удобны для сложения-вычитания, но совершенно неудобны для умножения и деления.
Упражнение:
Запишите римскими цифрами числа от 1 до 20, 34, 46, 49, 58, 157, 200, 437, 993, 2045
Запишите арабскими цифрами числа: XXII, LX, XCIX, CC, CDXXXVIII, DCXLIX, CMXCIX, MCCVII, MMXLV, MMMDLV, MMMDCLXXVIII, MMMCM, MMMCMXCIX
^
Впервые идея позиционных систем счисления появилась в Древнем Вавилоне.
Позиционная система счисления – это система счисления, в которой значение цифры зависит от ее положения в числе.
Основание системы счисления – это количество цифр, которое используется для записи чисел.
С позиционной системой счисления вы знакомы с раннего детства – это десятичная система счисления. Эту систему принято называть арабской, но зародилась она в Индии в V веке. В Европе об этой системе узнали в ХП веке из арабских научных трактатов, переведенных на латынь. Этим и объясняется название «арабские числа».
Широкое распространение эта система получила в XVI в. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические действия и записывать числа любой величины, распространение арабской системы счета дало мощный толчок развитию математики.
В десятичной системе счисления запись чисел производится с помощью десяти цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т.е. десятичная система счисления имеет основание 10.
Рассмотрим пример, из которого видно, что одна и та же цифра имеет разное значение: дано число 333. Оно составлено из цифр – 3. В разных позициях эта цифра имеет значение: 3 сотни = 300, 3 десятка – 30 и 3 единицы = 3.
Таким образом, число 333 можно представить в виде суммы:
333 = 300 + 30 + 3 = 300 + 30 +3 = 3·102 + 3·101 + 3·100
Десять – не единственное возможное основание системы счисления. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число, большее 1.
Основание |
Название
|
^
|
2
|
двоичная
|
0 1
|
3
|
троичная
|
0 1 2
|
8
|
восьмеричная
|
0 1 2 3 4 5 6 7
|
16
|
шестнадцатеричная
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9А В С D E F
Е F
|
Основание системы счисления указывают около числа нижним индексом в скобках: 1001(2) 3712(8) 3B8F(16) |
